郑州地铁9号线二期图纸:数学题:
来源:百度文库 编辑:查人人中国名人网 时间:2024/10/06 12:54:29
若a、b、c为三角形三边,x、y、z属于R,x+y+z=0
求证:a^2yz+b^2zx+c^2xy≤0
求证:a^2yz+b^2zx+c^2xy≤0
我用x^表示x的平方
因为z=-x-y,所以在原式中用-x-y替换z
即证明
a^y(-x-y)+b^(-x-y)x+c^xy《0
整理得
证明
-b^x^+(c^-a^-b^)yx-a^y^《0
把他看作一个以x为主元的一元二次方程,开口向下
则判别式为(c^-a^-b^)^y^-4b^a^y^
化简整理,y^((c^-a^-b^+2ab)(c^-a^-b^-2ab)---注意平方差公式形式
得y^(c^-(a-b)^)(c^-(a+b)^)
=(c+b-a)(c+a-b)(c-a-b)(c+a+b)
因为abc为三角形三边,两边之和大于第三边,所以
(c+b-a)(c+a-b)(c-a-b)(c+a+b)中
第1,2,4项大于0,3项小于0,所以乘积小于0
再乘以大于等于0的y^,则成绩小于等于0
所以y^((c^-a^-b^+2ab)(c^-a^-b^-2ab)
小于等于0,当且仅当y=0时等号成立
这是一个二次项系数小于0二元一次方程的判别式,小于等于0恒成立,所以此二元一次方程小于等于0恒成立
-b^x^+(c^-a^-b^)yx-a^y^《0恒成立
所以 a^2yz+b^2zx+c^2xy≤0
恒成立
证毕