用细菌屋还用生化棉吗:高中数学题
来源:百度文库 编辑:查人人中国名人网 时间:2024/10/08 11:11:06
已知关于x的实数二次方程x²+ax+b=0有两个实数根α,β,证明: |α|‹2 且 |β|‹2 是 2|a|‹4+b 且 |b|‹4的充要条件
证明:(1)充分性:由韦达定理,得|b|=|α·β|=|α|·|β|<2×2=4.
设f(x)=x2+ax+b,则f(x)的图象是开口向上的抛物线.
又|α|<2,|β|<2,∴f(±2)>0.
即有 4+b>2a>-(4+b)
又|b|<4 4+b>0 2|a|<4+b
(2)必要性:
由2|a|<4+b f(±2)>0且f(x)的图象是开口向上的抛物线.
∴方程f(x)=0的两根α,β同在(-2,2)内或无实根.
∵α,β是方程f(x)=0的实根,
∴α,β同在(-2,2)内,即|α|<2且|β|<2.