超市主管竞聘演讲稿:(x+y+z)的1989次方展开后有多少项
来源:百度文库 编辑:查人人中国名人网 时间:2024/07/08 11:19:37
这是道数学奥赛题,我用二项式定理算不出
意思不是太确定,分两种情况解之。
(1)如果重复计算,比说一个单项式的系数为k,就计为k项,则答案是3^1989。
方法是先把(x+y+z)^1989展开,然后在等式两边把
x=1,y=1,z=1代入,则左边=3^1989,而右边恰好就是所有系数之和,也就是按重复计算的项数之和。
(2)不重复计算。
考虑所有可能的项,因为结果是1989个(x+y+z)的连乘,任何一个项是由1989个括号中分别任选一个(x或y或z)连乘得到,因此它们的一般形式为:
x^a * y^b * z^c
其中,a+b+c=1989
显然,满足a+b+c=1989的任意一个项
x^a * y^b * z^c
也都是可以出现的,因此,不同项的个数也就是
a+b+c=1989.............(1)
的非负整数解的个数。
实际上对于(1)的每一个解有:
1<=a+1<a+1+b+1<=1991...............(2)
反过来,对于满足(2)的任意一个a,b,也都可以构造出(1)的解。
因此也就是要计算满足(2)的不等式的个数,而(2)相当于在1至1991中任选2个数分别安排给a+1和a+1+b+1,是1991选2的组合,等于
C(1991,2) = 19991 *1990 /2
1989乘以2的1989次方就是答案
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